¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
Clasificado en Matemáticas y Lógica, Preguntas y respuestas por Bender el 1 de Octubre del 2006
Leonardo Fibonacci nació en Pisa, Italia, en 1170, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le quedó).
Creció y fue educado en Bugia, norte de África (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa alrededor del año 1200. Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseñado por matemáticos árabes durante este su periodo más formativo. Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos matemáticos significativos, lo que ayudó a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atención el Sacro Emperador Romano del momento Federico II. quien lo invito a su corte de Pisa. Fibonacci murió en 1250.
La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202, al tratar la cuestión del crecimiento de una población de conejos. Se hizo la pregunta de cuántas parejas de conejos habrá después de cierto número de temporadas de crianza, esto es, cómo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:
1) Se empieza con una pareja inmadura.
2) Los conejos maduran una temporada después de haber nacido.
3) Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.
4) Los conejos nunca mueren.
De acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, después de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes números de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci.
Simplificado, se empieza con 0 y 1, el siguiente número de la secuencia es la suma de los dos anteriores, y así sucesivamente.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169…
La función se expresaría así:
F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, …
Algunas particularidades en esta secuencia son:
- Un término de cada tres es un número par: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
- Uno de cada cinco es múltiplo de 5: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
- Cualquier número natural se puede expresar mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, y cada uno de ellos es distinto a los demás. Ejemplos: 18= 13+3+2 50= 13+34+3
- Si cogemos los números de la secuencia de dos en dos, y los dividimos entre sí, obtenemos con la progresión un acercamiento al cociente 0.618, el cual recibe el nombre de media dorada.
1/1=1 1/2=0.5 2/3=0.666 3/5=0.6 5/8=0.625 8/13=0.615 13/21=0.619 21/34=0.617
- En la naturaleza hay varios ejemplos de esta sucesión:
La cantidad de pétalos de una flor
La flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci.
La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci.
En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.
La manera de reproducirse las liebres (la cantidad descendientes que tienen y cómo se “multiplican”).
Estatua de Fibonacci
Visto en: Wikipedia http://lectura.ilce.edu.mx
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Deberían ampliar un poco más el articulo y destacar cosas como la participación importante de esta secuencia a muchos más caso.
Por ejemplo el hombre de Vitruvio, la formación de los espirales, que se encuentran en toda la naturaleza, inclusive en los seres humanos etcetera.
Ampliar un poco más las caracteristicas curiosas de la sucesión.
Por ejemplo.
Si F(p) = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción. F(4)=3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la secuencia F(n)/10n es exactamente 10/89.
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada 1.5×10^n números.
La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n 2 menos uno.
Y si se pudierá una breve menció de que TOOL la usa en su album Lateralus.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción Lateralis siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,…
(bueno eso último es muy parcial hehe)
Muchas gracias por la información que has aportado Pablo. Es cierto que el tema se puede ampliar mucho más, y todas las cosas que has contado son muy curiosas y dignas de ser ampliadas, así que espero en un futuro tocar algo más de este tema.
De todas formas, si quieres exponer algo más que te parezca interesante, siempre puedes usar esta sección de comentarios para explicar más datos.
Me ha parecido muy interesante lo de la canción de Lateralis.
uy”!
hehehe
miles de gracias ^^
me sirvio muxo
para un trabajo del cole
en especial lo de un comentario acerca de TOOl
bueno eso
Azael.,