El ajedrez es un juego muy antiguo. Lleva muchos siglos de existencia y por eso no es extraño que se hayan inventado sobre él, diferentes leyendas de cuestionable veracidad, las cuales son difíciles de comprobar debido a su antigüedad.

Hoy os voy a relatar una de estas leyendas que conozco desde pequeño y siempre me fascinó. Para entenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; sólo se necesita saber que el tablero donde se juega, está dividido en 64 casillas negras y blancas, colocadas alternativamente.

El juego del ajedrez lo inventaron en la India. Cuando el rey hindú Sheram tuvo noticia del mismo, se maravilló de lo ingenioso y de la variedad de posiciones que en él eran posibles. Al conocer de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey requirió su presencia con objeto de recompensarle personalmente por su buen invento.

El inventor, que se llamaba Seta, se personificó ante el soberano. Era un sabio ataviado con modestia, que podía vivir gracias a los medios que le suministraban sus alumnos.

– Seta, quiero recompensarte magnanimamente por el ingenioso juego que inventaste – le dijo el rey.

El sabio respondió con una reverencia.

– Soy lo bastante poderoso y rico como para poder otorgarte tu deseo más anhelado – continuó diciendo el rey–. Exprésame una recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta permaneció callado.

– No seas apocado – le animó el rey-. Dinos tu deseo. No escatimaré engastos para satisfacerlo.

– Grande es su condescendencia, soberano. Pero deme un corto plazo para pensar la respuesta. Mañana, tras profundas reflexiones, le transmitiré mi petición.

A la mañana siguiente Seta se presentó de nuevo ante el soberano y lo dejó maravillado con su petición, sin precedente alguno por su modestia.

– Oh rey – dijo Seta–, ordene que me den un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez.

– ¿Un sólo grano de trigo? – inquirió sorprendido el rey.

– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordene que me den 2 granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…

– Basta – le cortó el rey enfadado –. Se te entregará el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, en acuerdo con tu deseo; por cada casilla, doble cantidad que por la precedente. Pero debes saber que tu petición es indigna de mi bondad. Al pedirme tan ínfima recompensa, menosprecias, irreverentemente mi benevolencia. Y como sabio que eres, podrías haber dado mayor prueba de respeto ante la generosidad de tu rey. Ya puedes retirarte. Mis lacayos te entregarán el saco con el trigo que necesites.

Seta sonrió, abandonó la sala y se quedó esperando en la puerta exterior del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para que se enteraran de si habían entregado ya al reflexivo Seta su mezquina recompensa.

– Soberano, tu orden se está cumpliendo – fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Soberano –le contestaron–, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? –gritó iracundo el rey–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe –le dijo Sheram–, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano–. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud –le interrumpió con altivez el rey– mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela.

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y toda la cosecha obtenida en estos campos ordena que sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime, cuál es esa cifra tan monstruosa –dijo reflexionando–.

– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Sobre la progresión aritmética
Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Podemos hallar fácilmente la suma total de granos, si duplicamos el último número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reduce simplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así sucesivamente 64 veces.

Con objeto de simplificar el cálculo, podemos dividir estos 64 factores en seis grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2, como es fácil comprobar, es igual a 1024 y la de 4 factores 2 es de 16. Por lo tanto, el resultado que buscamos es equivalente a:

1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 16

Multiplicando 1024 x 1024 obtenemos 1.048.576

Ahora nos queda por hallar:

1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16

Restando del resultado una unidad, obtendremos el número de granos buscado: 18.446.744.073.709.551.615

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud que debería tener el granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez debería ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es lo mismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud debería de ser de 300.000.000 km, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.

El rey hindú, naturalmente, no podía entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estado fuerte en matemática, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía.

Si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos. Para contar un millón de granos habría necesitado, como mínimo, 10 días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de 5 cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante 10 años, habría contado 100 cuartos como máximo.

Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.