¿Por qué se usa preferentemente la X para expresar incógnitas?
Clasificado en Matemáticas y Lógica, Preguntas y respuestas por Bender el 10 de Junio del 2008
El uso de letras para representar números se remonta a la antigua Grecia. Aristóteles usaba frecuentemente una o dos letras mayúsculas para designar una magnitud o un número.
Diophantus (210-290) usaba una letra griega con un acento para representar una incógnita. Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811-1881) tomó este símbolo para representar la sigma (Σ) final, y remarcó la probabilidad de que esta selección se debiera a que era la única letra del alfabeto griego que no se usaba para escribir números, aunque existen diferentes opiniones al respecto.
En 1463, Benedetto de Florencia usó la letra griega rho (Ρ ρ) para una incógnita en su trabajo “Trattato di praticha d’arismetrica“.
En Roma, el libro “Liber abbaci” (1202) de Leonardo de Pisa, representaba los datos por letras minúsculas. Jordanus Nemorarius (1225-1260) usaba letras para reemplazar números.
Christoff Rudolff usaba las letras a, c y d para representar números, aunque no en las ecuaciones algebraicas, en “Behend vnnd Hubsch Rechnung“.
Michael Stifel usó la q (abreviación de “quantita“, que Cardan ya había usado) aunque también usó A, B, C, D y F para las incógnitas en su trabajo “Arithmetica integra” de 1544.
Girolamo Cardan (1501-1576) usaba las letras a y b para designar números conocidos en “De regula aliza” (1570).
En 1575, Guilielmus Xylander tradujo el trabajo “Arithmetica” de Diophantus del griego al latín y usó la letra N (numerus) para las incógnitas y ecuaciones.
Francois Vieta (1540-1603)
En 1591, Francois Vieta (1540-1603) fue la primera persona en usar letras para las incógnitas y constantes en ecuaciones algebraicas. Usó vocales para las incógnitas y consonantes para los datos conocidos (todas en mayúsculas) en su trabajo “In artem analyticem isogoge“. Vieta escribió esto para dictaminarlo: “Quod oopus, ut arte aliqua juventur, symbolo constanti et perpetuo ac bene conspicuo date magnitudines ab incertis quaesititiis distinguantur ut [...] magnitudines quaesititias elemento A aliave litera volcali, E, I, O, V, Y [...] elementis B, G, D, aliisve consonis designando.”
Thomas Harriot (1560-1621) en su trabajo “Artis Analyticae Praxis, ad Aequationes Algebraicas” usó vocales minúsculas para las incógnitas y consonantes minúsculas para las cantidades conocidas.
El uso de la z, y ó x, que hizo Descartes, se puede leer en este texto de Cajori: “El uso de z, y ó x para representar incógnitas, se debe a René Descartes, en su libro “La géometrie” (1637). Sin comentarios, introduce el uso de las primeras letras del alfabeto para expresar cantidades conocidas y el uso de las las últimas letras del alfabeto para expresar incógnitas. En su propio lenguaje: “…l’autre, LN, est (1/2) a la moitié de l’autre quantité connue, qui estoit multipliée par z, que ie suppose estre la ligne inconnue.”
René Descartes (1596-1650)
De nuevo: “…ie considere … Que le segment de la ligne AB, qui est entre les poins A et B, soit nommé x, et quie BC soit nommé y; … la proportion qui est entre les costés AB et BR est aussy donnée, et ie la pose comme de z a b; de façon qu’ AB estant x, RB sera bx/z, et la toute CR sera y = bx/z. …”
Después dice: “et pour ce que CB et BA sont deux quantités indeterminées et inconnuës, ie les nomme, l’une y; et l’autre x. Mais, affin de trouver le rapport de l’une a l’autre, ie considere aussy les quantités connuës qui determinent la description de cete ligne courbe: comme GA que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallele a GA, que ie nomme C.”
Para las coordenadas, usa sólo x y y. En las ecuaciones, en el tercer libro “Géométrie“, la x predomina.
En los manuscritos escritos en el intervalo entre 1629-1640, la incógnita z aparece sólo una vez. En los otros lugares aparecen la x y la y. En un papel de “El óvalo de Descartes“, preparado antes de 1629, la x sola aparece como incógnita, y la y se usa como parámetro. Este es el primer lugar en el que Descartes usó una de las últimas letras del alfabeto para representar incógnitas. Más tarde usó x, y o z de nuevo como cantidades conocidas.
Así, J. Tropfke, P. Treutlein, y M. Curtze adelantaron que el símbolo para las incógnitas usado por los primeros escritores germanos, 
, se parecía mucho a una x que pudo fácilmente haber sido tomada como tal, y que Descartes interpretó y usó como una x. Pero el modo en el que Descartes introdujo las variables conocidas a, b ó c, etc…, y las variables desconocidas z, y ó x, hacen improbable esta hipótesis.
Según una carta que G. Eneström envió el 26 de Marzo de 1619 a Isaac Beeckman, Descartes usó el símbolo como símbolo distinto a la x, así que no hubiese podido malinterpretarla como una x. En algún momento antes de 1637, Descartes usó x al lado de . En aquellos tiempos, él seguía usando x, y ó z como símbolos para las variables conocidas. Los símbolos germánicos como el para representar la x, y que son encontrados en el álgebra de Clavius, aparecen con frecuencia en un manuscrito de Descartes, como el “Opuscules de” (1619-1621).
Christopher Clavius (1538-1612)
Todos estos hechos causaron que Tropfke abandonara en 1921 su vieja visión del origen de la x, aunque discutió vehemente la similitud de la x y , y la familiaridad de Descartes con , que puedan ser debidas al hecho de que al final del libro “Géométrie” de Descartes, la x aparece con más frecuencia que la x y la z. Eneström, por otra parte, se inclina de la opinión de que la predominancia de la x sobre la y ó la z se debe a razones tipográficas, donde la x se representa más veces porque la aparición de dicha letra en las lenguas latinas y romances es más usual.
Según dijo Johnson:
Descartes introdujo la ecuación ax + by = c, que es usada aun en la actualidad para describir la ecuación de una línea. El predominante uso de la letra x para representar un valor desconocido, apareció de manera muy interesante. Durante la impresión de “La Geometrie” y su apéndice “Discours de La Methode“, que introdujo geometría coordinada, la imprenta tuvo un dilema. Mientras el texto se plasmaba, la imprenta se empezó a quedar corta de las últimas letras del alfabeto. El impresor le preguntó a Descartes si importaba que la x, y ó z apareciesen indistintamente en cada ecuación del libro. Descartes especificó que no importaba cuál de las tres se usaba para designar una cantidad desconocida. El impresor seleccionó x para la mayoría de las variables desconocidas, ya que las letras y ó z se usan con más frecuencia en la lengua francesa que la x.
Algunos historiadores han centrado su atención en la x, ignorando la y ó la z, y todos los cambios en la notación hechos por Descartes. Estos escritores se han esforzado en conectar esta x con otros símbolos antiguos o con letras árabes.
Así, hay otras explicaciones para el uso que hizo Descartes de la x, y ó z en las variables desconocidas. Por ejemplo, la definición de la x que apareció en el “Nuevo Diccionario Internacional Webster’s” (1909-1916) y su subsiguiente segunda edición, donde proclamaba que: “Antiguamente, alrededor del 3000 o 2500 A.D., la x fue usada como abreviación de la palabra árabe “shei” o “shai“, el término que empleaban para determinar un número indefinido o una incógnita, que significa “cosa, algo”, y que en la Edad Media, también se usó para designar las variables desconocidas. Esta fue posteriormente transcrita por los griegos al alfabeto helénico como como “xei” o “xai“. El término se fue acortando por eliminar complejidad a las fórmulas matemáticas, y quedó convertido en la letra x de nuestros días.”
Aun así, Cajori dice que no hay evidencia de este hecho.
De acuerdo a la segunda edición del “Diccionario de Inglés Oxford“:
La introducción de x, y ó z como símbolos de las cantidades desconocidas se debe a Descartes y su libro de 1637 “Géométrie“, quien, para disponer símbolos de variables desconocidas para los símbolos a, b y c, que son las conocidas, tomó la última letra del alfabeto, z, para la primera incógnita, y procedió hacia atrás con la y y la x para la segunda y tercera respectivamente. No hay evidencia que respalde la hipótesis de que la x se derive del uso en la época medieval de “xei” o “shei” (cosa, algo), usada por los árabes para especificar cantidades desconocidas, o del compendio L. res “cosa” o radix “raíz” (que parece ser una x escrita de forma muy pobre), usado por los matemáticos medievales.
Descartes usó letras para representar sólo números positivos; un número negativo se podía representar como una -b, según dictaminaba el segundo volumen de Cajori en su página 5. John Hudde fue el primero en permitir que una letra representara un número positivo o negativo en su “De reductione aequationum“, en 1657, publicado al final del primer volumen de la segunda edición al latín del libro “René Descartes’ Géométrie“, escrito por F. Van Schooten.
John Hudde (1633-1704)
Jonas Moore escribió en su libro de 1660, “Arithmetic“: “Escriba siempre las cantidades o números conocidos con consonantes, y aquellos que son desconocidos con vocales; o también las cantidades desconocidas con las primeras letras del alfabeto y las incógnitas con las últimas, como la z, y ó x. Esto hará menos confuso su trabajo”.
Los números complejos, como la notación a + bi, fueron introducidas por Leonhard Euler (1707-1783).
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